初等函数在其定义域内(初等函数包括多项式函数吗)
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2024-07-27
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1. 初等函数在其定义域内,初等函数包括多项式函数吗?
取整函数E(x)是指任给实数x,必有唯一的整数n,使得n<=x<n+1,就定义E(x)=n,称它为x的整数部分,也记作[x]。函数包括了初等函数,如:多项式、三角函数、指数函数、根式函数等。一般来说,在给定一个函数时,应同时指明其定义域。![初等函数在其定义域内(初等函数包括多项式函数吗)](/static/artimg/20240102/659394001387a.jpg)
2. 初等函数在定义域内一定连续吗?
初等函数在定义域内一定连续是错误的,应该是初等函数在其定义区间内是连续的,初等函数在其定义区间内连续,而函数的定义区间与函数的定义域并不完全相同,因为函数的定义域有时是由一些离散的点及一些区间构成的,对于定义域内的这些孤立的点,根本谈不上函数的连续问题。
而只能在定义域内的区间上讨论连续性。这些区间,我们称之为函数的定义区间。初等函数在其定义域内的区间(即定义区间)上是连续的。
初等函数特点:
1、初等函数:基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数。
2、简单函数:由常数函数与基本函数经过有限次四则运算生成的函数。
3. 如何判定一个函数是连续的?
1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件:
(1)函数在x0 处有定义;
(2)x-> x0时,limf(x)存在;
(3)x-> x0时,limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。
4. 初等函数在定义域内一定可微吗?
是的,初等函数都是连续的,可导的,可微的。
因为初等函数都是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算加,减,乘,除,有理数次乘方,有理数次开方及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示。初等函数在定义域内可积是对的,但不可微不一定对。
根据连续函数的相关定理,初等函数在其定义域内是连续的,又由定积分存在的定理,函数在闭区间上连续,函数在该闭区间上可积。所以,初等函数在定义域内可积是对的。

内容简介
初等函数是由幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数与常数经过有限次的有理运算加减乘除有理数次乘方,有理数次开方及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。它是最常用的一类函数。
包括常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数以上是基本初等函数,以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。
5. 如何证明一个函数在其定义域是连续的?
设x0为任意点,只要证明,lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可,(左极限=右极限=函数值)。证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0),闭区间还需要证明在端点处单侧连续。
连续函数是指函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的。
又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。对于这种现象,因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

反函数连续性:
如果函数f在其定义域D上严格单调且连续,那么其反函数f-1也在其定义域f(D)(即f的值域)上严格单调且连续。
证明:严格单调函数必定有严格单调反函数,并且单调性相同(证法参考反函数词条),因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。
设f是定义在D上的严格单增的函数(严格单减同理)。作辅助函数g(x)=x,显然g(x)的反函数就是它本身。
由于g(x)在R上是连续的,因此它在D上也是连续的。
①若D是开区间,设x0是D上任意一点,由g(x)的连续性可知,对任意ε>0,存在δ>0,使得当|x-x0|<δ时,|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。
于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1<x0<x2的两点(前提是x1、x2落在D内),根据f的连续性可知开区间(x1,x2)内的所有x(包括x0)都满足|x-x0|<ε。
6. 区间内可导是什么意思?
1、证明函数在整个区间内连续。(初等函数在定义域内是连续的)
2、先用求导法则求导,确保导函数在整个区间内有意义。
3、端点和分段点用定义求导。
4、分段点要证明左右导数均存在且相等。
如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数。
7. 初等函数的四则运算是不是也连续?
初等函数不都是连续的。包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。所有基本初等函数在其定义域内都是连续的。连续函数的其他性质:
1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数。
2、连续单调递增(递减)函数的反函数,也连续单调递增(递减)。
3、连续函数的复合函数是连续的。
4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
5、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界,闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
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1. 初等函数在其定义域内,初等函数包括多项式函数吗?
取整函数E(x)是指任给实数x,必有唯一的整数n,使得n<=x<n+1,就定义E(x)=n,称它为x的整数部分,也记作[x]。函数包括了初等函数,如:多项式、三角函数、指数函数、根式函数等。一般来说,在给定一个函数时,应同时指明其定义域。2. 初等函数在定义域内一定连续吗?
初等函数在定义域内一定连续是错误的,应该是初等函数在其定义区间内是连续的,初等函数在其定义区间内连续,而函数的定义区间与函数的定义域并不完全相同,因为函数的定义域有时是由一些离散的点及一些区间构成的,对于定义域内的这些孤立的点,根本谈不上函数的连续问题。
而只能在定义域内的区间上讨论连续性。这些区间,我们称之为函数的定义区间。初等函数在其定义域内的区间(即定义区间)上是连续的。
初等函数特点:
1、初等函数:基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数。
2、简单函数:由常数函数与基本函数经过有限次四则运算生成的函数。
3. 如何判定一个函数是连续的?
1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件:
(1)函数在x0 处有定义;
(2)x-> x0时,limf(x)存在;
(3)x-> x0时,limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。
4. 初等函数在定义域内一定可微吗?
是的,初等函数都是连续的,可导的,可微的。
因为初等函数都是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算加,减,乘,除,有理数次乘方,有理数次开方及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示。初等函数在定义域内可积是对的,但不可微不一定对。
根据连续函数的相关定理,初等函数在其定义域内是连续的,又由定积分存在的定理,函数在闭区间上连续,函数在该闭区间上可积。所以,初等函数在定义域内可积是对的。

内容简介
初等函数是由幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数与常数经过有限次的有理运算加减乘除有理数次乘方,有理数次开方及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。它是最常用的一类函数。
包括常函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数以上是基本初等函数,以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。
5. 如何证明一个函数在其定义域是连续的?
设x0为任意点,只要证明,lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可,(左极限=右极限=函数值)。证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0),闭区间还需要证明在端点处单侧连续。
连续函数是指函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的。
又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。对于这种现象,因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

反函数连续性:
如果函数f在其定义域D上严格单调且连续,那么其反函数f-1也在其定义域f(D)(即f的值域)上严格单调且连续。
证明:严格单调函数必定有严格单调反函数,并且单调性相同(证法参考反函数词条),因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。
设f是定义在D上的严格单增的函数(严格单减同理)。作辅助函数g(x)=x,显然g(x)的反函数就是它本身。
由于g(x)在R上是连续的,因此它在D上也是连续的。
①若D是开区间,设x0是D上任意一点,由g(x)的连续性可知,对任意ε>0,存在δ>0,使得当|x-x0|<δ时,|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。
于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1<x0<x2的两点(前提是x1、x2落在D内),根据f的连续性可知开区间(x1,x2)内的所有x(包括x0)都满足|x-x0|<ε。
6. 区间内可导是什么意思?
1、证明函数在整个区间内连续。(初等函数在定义域内是连续的)
2、先用求导法则求导,确保导函数在整个区间内有意义。
3、端点和分段点用定义求导。
4、分段点要证明左右导数均存在且相等。
如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数。
7. 初等函数的四则运算是不是也连续?
初等函数不都是连续的。包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。所有基本初等函数在其定义域内都是连续的。连续函数的其他性质:
1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数。
2、连续单调递增(递减)函数的反函数,也连续单调递增(递减)。
3、连续函数的复合函数是连续的。
4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
5、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界,闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
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